Diketahui vektor \( a, u, v, w \) adalah vektor di bidang kartesius dengan \(v = w-u\) dan sudut antara \(u\) dan \(w\) adalah \(60^\circ \). Jika \(a = 4v\) dan \(a \cdot u = 0\), maka… (SBMPTN 2017)
- \( \left \| u \right\| = 2 \left \| v \right\| \)
- \( \left \| v \right\| = 2 \left \| w \right\| \)
- \( \left \| v \right\| = 2 \left \| u \right\| \)
- \( \left \| w \right\| = 2 \left \| v \right\| \)
- \( \left \| w \right\| = 2 \left \| u \right\| \)
Pembahasan:
Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, kita peroleh berikut:
\begin{aligned} a = 4v &\Leftrightarrow a = 4(w-u) \Rightarrow a = 4w-4u \\[8pt] a \cdot u = 0 &\Leftrightarrow (4w-4u) \cdot u = 0 \\[8pt] &\Leftrightarrow 4w \cdot u - 4u^2 = 0 \\[8pt] &\Leftrightarrow 4w \cdot u = 4u^2 \\[8pt] &\Leftrightarrow w \cdot u = u^2 \end{aligned}
Dari hasil di atas diperoleh \( w \cdot u = u^2 \) dan dari soal diketahui sudut antara vektor \(u\) dan \(w\) adalah \(60^\circ\) sehingga berlaku:
\begin{aligned} u \cdot w &= \left\| u \right\| \cdot \left\| w \right\| \cdot \cos 60^\circ \\[8pt] u^2 &= \left\| u \right\| \cdot \left\| w \right\| \cdot \frac{1}{2} \\[8pt] \left\| u \right\|^2 &= \left\| u \right\| \cdot \left\| w \right\| \cdot \frac{1}{2} \\[8pt] \left\| u \right\| &= \left\| w \right\| \cdot \frac{1}{2} \\[8pt] 2 \left\| u \right\| &= \left\| w \right\| \end{aligned}
Jawaban E.